자동제어

　

서울시립대 전자전기공학부

최성종

　

　

Chapter 1 Introduction

  • 1-1 Control Systems
    •

    • Def) System

  • A system is an arrangement of physical components connected or related in such a manner as to form and/or act as an entire unit.
    •

    • Def) Control System

  • A control system is a system that command, direct, or regulate itself or another system.

    •

    • Example)

  • 온도 제어 시스템, 자동차 + 운전자
    •

    • Control system을 구성하는 기본적인 구성요소는 다음 세 가지이다: 1)제어의 목적, 2) 입력, 3) 출력, 4) control system components.

    　

    Def) Input

  • The input is the stimulus or excitation applied to a control system from an external energy source, usually in order to produce a specified response from the control system.

    •

    • Def) Output

  • The output is the actual response obtained from a control system.

    •

    • Def) Control system components

  • = control system - (inputs + outputs)

    •

    • Def) Objective of a control system

  • The objective of a control system is to control the outputs in some prescribed manner by the inputs through the control system components.

    •

    • 　

    Procedure to identify a control system

  • 1. What is the objective?

    2. what are the inputs?

    3. What are the outputs?

    4. What is the control system?

    •

    • Example: 온도제어

  • Objective: constant temperature (일정온도유지)

    inputs: reference temperature (원하는 온도)

    output: actual temperature (실제 방안의 온도)

    control system:

    •

    • Control system은 다음 두가지 형태로 나눌 수있다: 1) Open-loop, 2) closed-loop Control Systems

    　

    Def) Open-loop control systems (nonfeedback control systems)

  • An open-loop control system is one in which the control action is independent of the output.
    •

    • Def) Closed-loop control systems (Feedback control systems)

  • A closed-loop control system is one in which the control action is somehow dependent on the output.

    1-2 Feedback control system의 특성

    •

    • 　

    　
  • 1-3 Feedback control system의 종류
    •

    • Def) Linear systems ⇔ Non linear system

  • A linear system is a system which has the following property that

    if 1) an input x1(t) produces an output y1(t) and, 2) an input x2(t) produces an output y2(t)

    then, an input c1x1(t) + c2x2(t) produces an output c1y1(t) + c2y2(t) for all pairs of inputs x1(t) and x2(t) and all pairs of constants c1 and c2

    •

    • Def) Time-invariant system ⇔ Time-variant system

  • If the characteristics of a system do not change with time, then the system is said to be time-invariant, fixed, or stationary.
    •

    • Def) Continuous system ⇔ Discrete system

  • A continuous system is one in which the signals at various parts of the system are all functions of the continuous time variable t.
    •

    • Chapter 2 Mathematical Foundation

  • 2-1 Introduction
    •

    • Representation of the control engineering problem

    　
  • 2-2 Complex-Variable Concept
    •

    • Laplace transform variable (s)와 z-transform variable, z는 complex variable (복소변수)이다. 따라서, 복소변수와 복소함수에 대해 공부할 필요가있다.

    　

    complex variable의 표현

  • complex variable s는 다음과 같이 실수부와 허수부로 나눌 수있다.

    •

    • Function of a complex variable

    Analytic Function

    Poles of a Function

    Zeros of a Function

  • 2-3 Differential Equations
    •

    • Engineering에서 다루고 있는 현상은 미분방정식으로 표현되어진다.

    예)

    전기회로

    •

    • 기계적인 등가회로

  • Forcing function?, independent variable?, dependent variable?

    •

    • Def) Linear Ordinary Differential Equations

  • A differential equation

    is said to be a linear ordinary differential Equation if the coefficients a1, a2, ..., an+1 are not functions of y(t) and if y(t) and its derivatives are all of the first power.

    •

    • Nonlinear Differential Equations

    　

    First Order Dfferential Equations:

  • nth-order differential equation (n차 미분 방정식)은 n개의 1차 미분 방정식으로 표현할 수 있다.

    •

    • 예)

  • (2-7)

    위의 2차 미분 방정식을 다음과 같이 x1, x2를 정의 하면

    (2-7)은 다음과 같이 두개의 1차 미분 방정식으로 표현할 수 있다.

    •

    • Def) State Equation and State Variable

  • Control-system 이론에서는 이러한 1차 연립 미분 방정식을 state equation (상태 방정식)이라하고, 변수 x1, x2, ..., xn을 state variables (상태변수)이라한다.
    •

    • 이러한 state equation은 vector-matrix형태로 편하게 표현할 수 있다.

    　
  • 2-4 Laplace Transform
    •

    • Laplace Transform을 사용하여 미분 방정식을 풀면 다음과 같은 편리한 점이 있다.

    Definition of Laplace Transform

  • Laplace Transform은 시간(t)을 독립변수로 같고있는 실함수를 s (s = ? + j?)에대한 함수로 변환시키는 rule이다.
    •

    • Def) Laplace Transform and one-sided Laplace Transform

  • 실함수 f(t) 가 유헌한 ?에 대해 다음을 만족할 때

    Laplace Transform은 다음과 같이 정의 된다.

    만약 f(t)가 causal system의 output이라하면 위의 두 식은 다음과 같이 쓸 수 있고

    이를 one-sided Laplace transform이라 한다.

    •

    • Def) Causal System

  • 어떤 system의 input이 d(t)일 때, 이 system의 output f(t) = 0 for t < 0 이면, 이 system을 causal system이라 한다.
    •

    • Inverse Laplace Transform

    　

    Important theorems of Laplace transform (Table 2-1)

    　
  • 2-5 Inverse Laplace Transform by Partial-Fraction Expansion
    •

    • There are three cases:

  • 1. All poles are simple and real

    2. Some poles are of multiple order

    3. Simple complex conjugate

    2-6 Application of Laplace Transform to the solution of Linear Ordinary Differential Equations

    •

    • Laplace Transform을 사용하여 Linear ordinary differential equation의 해를 구하는 절차는 다음과 같다:

      1. 미분방정식의 양변을 Laplace transform
      2. Output에 대해 정리
      3. Partial Fraction Expansion
      4. Inverse Laplace Transform
      4.

    　

    Example 2-8, page 33)

  • 다음 미분방정식의 해를 구하라

    Where us(t) is the unit-step function and x(0) = -1 and x (1) (0) = 2.

    1. Laplace Transform

    2. Solve for output variable X(s)

    3. Partial Fraction Expansion

    4. Inverse Laplace Transform

    2-7 Elementary Matrix Theory

    •

    • Definitions of a Matrix

  • Matrix elements, order of matrix, square matrix, column matrix (column vector), row matrix (row vector), diagonal matrix, unity matrix (Identity matrix), null matrix, symmetric matrix, singular matrix, transpose
    •

    • Matrix Operations and Algebra

  • determinant, cofactor, transpose, adjoint, equality, +, -, premultiplication, postmultimplication, Inverse, rank
    •

    • 2-3절에서 정의한 state equation은 vector-matrix 형태로 편리하게 표현할 수 있다.

    예)

    Linear second order system이 다음과 같은 state equation으로 표현할 수 있다면,

    •

    • where: x1(t), x2(t): state variables

  • u(t): inputs

    a11, a12, a21, a22 are constant coeff.

    •

    • 다음과 같이 state vector를 정의 하면

    •

    • vector-matrix 형태의 state equation은 다음과 같이 표현될 수 있다.

    •

    • 위와 같은 형태로 p개의 input을 같는 linear nth order differential equation은 n개의 state equation과 state variable을 갖게 되는데 이때 matrix-vector 를 구성하는 요소의 크기는 다음과 같다.

  • x(t), dx(t)/dt: n by 1

    A: n by n

    B: n by p

    u(t): p by 1

    •

    • vector-matrix 형태는 nonlinear differential equation도 표현할 수 있고, 이는 다음과 같은 일반식으로 표현한다.

  • 2-10 Difference Equations

    •

    • Digital control system을 사용할 경우 이를 수학적으로 표현해야 할 필요가 있는데, 이 때, Difference equation를 이용하여 이를 표현한다. Difference equation은 computer를 사용하여 differential equation의 해를 구할 때 사용된다.

    일반적으로 Difference equation은 다음과 같이 표현된다.

    •

    • Analog system에서와 같이 이러한 Difference equation은 n개의 first order difference equation으로 표현할 수있다. 즉,

    •

    • 이라 할 때, 주어진 difference equation은 다음과 같이 표현된다.

    •

    • 이를 vector-matrix 형태로 표현하면,

    •

    • discrete data의 수학적 표현

    1. sequence: u(kT), c(kT)

    2. Using impulse train (Sampled data): u*(t), c*(t)

  • (2-176)
    •

    • 이 방법은 sampler를 사용하여 continuous 신호, u(t)를 discrete 신호, u*(t)로 변환하였을 때 discrete 신호의 수학적인 표현이다.

    이러한 sampler는 analog-to-digital (A/D) converter를 사용하는데, 이 때 T를 sampling period라 한다.

    Ideal Sampler

    식 (2-176)의 양변을 Laplace transform하면

  • (2-117)
    •

    • 이 식은 s에 대한 지수식이다. 따라서, discrete system은 Laplace transform을 사용하면 다루기가 어렵다.

    　

    Definition of the z-transform

    Laplace transform을 사용하여 differential equation의 해를 쉽게 구할 수 있는 것과 같이, difference equation은 z-transform을 사용하여 쉽게 해를 구할 수 있다.

    　

    식 (2-176)과 같이 표현되는 신호 u*(t)의 z-transform은 다음과 같이 정의 된다.

    •

    • Example 2-21,22

    　

    　

    Some important theorems of the z-transform

    　

    Table 2-3

    Operation

    Theorm
    Addition

    Multiplication by a constant

    Real translation (Time delay)

    Complex translation

    Initial value theorem

    Final value theorem

    Real convolution

    　

    Inverse Laplace Transformation

    1. Partial-fraction expansion

    2. Power-Series

    3. Inversion formula

    　
  • Review of Chapter 2
    •

    • 2-1 Introduction

  • Representation of the control engineering problem
    •

    • 2-2 Complex-Variable Concept

  • Function of a complex variable

    Analytic Function

    Poles of a Function

    Zeros of a Function

    •

    • 2-3 Differential Equations

  • Def) State Equation and State Variable
    •

    • 2-4 Laplace Transform

    2-6 Application of Laplace Transform to the solution of Linear Ordinary Differential Equations

    2-7 Elementary Matrix Theory

    2-9 Vector-Matrix Form of State Equations

    2-10 Difference Equations

    2-11 The z-Transform

  • discrete data의 수학적 표현
    •

    • 2-12 Application of the z-transform to the solution of linear difference equations

    　

    Chapter 3 Transfer Functions, Block Diagrams, and Signal-Flow Graphs

    Def) Impulse response

    어떤 system의 Impulse response는 다음 조건이 주어졌을 때의 출력이다:

      1. 입력은 unit impulse function, ?(t).
      2. 모든 initial condition들은 0이다.
      4.

    　

    예)다음 전기회로에서 입력을 v(t) 출력을 i(t)라 하면

    •

    • impulse response, g(t)는 capacitor에 초기전압을 0으로하고, 입력 v(t)가 unit impulse function일 때의 출력이다. 즉, 다음 미방의 해이다.

    •

    • Def) Transfer function: SISO(single input single output)

    Linear time-invariant (LTI) system의 transfer function은 impulse response의 Laplace transform이다.

    　

    예)위의 예에서 transfer function, G(s)는

    •

    • Thm)

    A linear time-invariant (LTI) system can be completely characterized by its impulse response (or transfer function).

    　

    어떤 LTI system의 transfer function G(s)가 주어졌을 때, 입력의 Laplace transform을 R(s)라면, 출력 C(s)는 다음과 같이 주어진다.

    •

    • 다시 말해서, transfer function이 주어지면 어떤 입력에 대해서도 출력을 알 수 있다.

    예) 위의 주어진 전기회로에서,

    •

    • Transfer Function의 성질

      1. Transfer function은 LTI system에 대해서만 정의된다.
      2. 입력과 출력에 대한 transfer function은입력이 unit impulse일 때의 출력의 Laplace transform이다.
      3. System의 초기조건은 0이다
      4. Transfer function은 입력과 아무 관계가 없다.
      5. Continuous system의 transfer function은 복소수 s의 함수이고, discrete system의 transfer function은 복소수 z의 함수이다.
      4.

    Def) Characteristic Equation

    Transfer function의 분모를 0으로 하는 방정식을 이 system의 characteristic equation이라한다.

    SISO LTI의 stability은 charcteristic equation의 근, 즉 transfer function의 pole에 의해서 결정된다.

    Transfer function (Multivariable system)

  • 3-3 Block Diagrams
    •

    • Block Diagram of Feedback Control System

    Definition of Signals

  • r(t), R(s): Reference input (command)

    c(t), C(s): output (controlled variable)

    b(t), B(s): feedback signal

    e(t), E(s): error signal [e(t) = r(t) - b(t)]

    •

    • Definition of transfer functions

  • H(s): feedback transfer function

    G(s)H(s): loop or open-loop transfer function

    G(s): forward-path transfer function

    M(s) = C(s) / R(s): closed-loop transfer function

    •

    • Block Diagram and Transfer functions of Multivariable Systems
  • 3-4 Signal-Flow Graphs
    •

    • y2 = a12y1의 표현
  • 3-5 Summary of the Basic Properties of Signal-Flow Graph
    •
    1. Linear system
    2. 결과를 원인의 함수로 표현
    3. Node y2 = a12y1 represents variables, 왼쪽에서부터 인과 관계의 나열
    4. 신호는 화살표 방향으로만 이동
    5. y2 = a12y1 does not imply y1 = y2 / a12

    　
  • 3-6 Definition of Signal-flow Graph
    •

    • Def) Input Node (Source)

  • An input node is a node that has only outgoing branches.
    •

    • Def) Output Node (Sink)

  • An output node is a node that has only incoming braches.
    •

    • Note:

  • Any noninput node of a signal-flow graph can be made an output node.
    •

    • Def) Path

  • A path is any collection of a continuous succession of branches traversed in the same direction.
    •

    • Def) Fowrard path

  • A forward path is a path that starts at an input node and ends at an outputnode, and along withc no node is traversed more than once.
    •

    • Def) Loop

  • A loop is a path that originates and terminates on the same node, and along which no other node is encountered more than once.
    •

    • Def) Path gain

  • The product of the branch gains encountered in traversing a path is called the path gain.
    •

    • Def) Forward-path gain

  • The forward-path gain is the path gain of a forward path.
    •

    • Def) Loop gain

  • The loop gain is the path gain of a loop.

    3-7 Signal-flow Graph Algebra

    •

    • Signal-flow graph of a feedback control system
  • 3-8 Examples of the Construction of signal-flow graphs

    3-9 General Gain Formula for Signal-Flow Graphs

    •

    • Def) Nontouching

  • Two parts of a singal-flow graph are nontouching if they don’t share a common node)
    •

    • General Gain formula (Mason’s formula)

    •

    • where yin: input-node variable, should be input node

  • yout: output-node variable, should be output node

    M: Gain between yin and yout

    N: total number of forward paths between yin and yout

    Mk: gain of the kth forward path between yin and yout

    Pmr: gain product of the mth possible combination of r nontouching loops

    or

    ?: 1 - (sumb of the gains of all individual loops) + (sum of products of gains of all possible combinations of two nontouching loops) - (sum of products fo gains of all possible combinations of three nontouching loops) + ...

    ?k: the ? for that part of the signal-flow graph that is nontouching with thekth forward path.

    •